% Preamble
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% Document
\begin{document}

\sffamily

\begin{titlepage}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}

\begin{center}
\Huge \textbf{MATHEMATIQ}
\end{center}

\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}

\begin{center}
\Large Der Newsletter der MathSIG
\\ \normalsize (Interessensgruppe innerhalb der Mensa \"{O}sterreich)
\end{center}

\begin{center}
\Large Ausgabe 23
\end{center}

\begin{center}
\normalsize \url{http://www.hugi.scene.org/adok/mensa/mathsig/}
\end{center}

\end{titlepage}

\newpage

\begin{center}
\Large \textbf{Editorial}
\end{center}
\normalsize Liebe Leserinnen und Leser!
\\
\\ Dies ist die dreiundzwanzigste Ausgabe von MATHEMATIQ, dem Newsletter der MathSIG. Die MathSIG wurde gegr\"{u}ndet, um die spezifischen Interessen mathematisch hochbegabter Menschen zu f\"{o}rdern. In erster Linie soll sie sich also den Themengebieten Mathematik, Informatik, Physik und Philosophie widmen. Beitr\"{a}ge von Lesern sind herzlich willkommen. Wenn in ihnen mathematische Sonderzeichen vorkommen, bitte ich aber, sie zwecks m\"{o}glichst einfacher und fehlerfreier Formatierung im \TeX-Format einzusenden. Als Vorlage ist eine Fassung des jeweils aktuellen Newsletters im \TeX-Format auf Anfrage bei mir erh\"{a}ltlich. Au\ss{}er Artikeln sind nat\"{u}rlich auch Illustrationen f\"{u}r das Titelblatt willkommen. Die Rechte an diesen m\"{u}ssen aber eindeutig bei euch selbst liegen, Kopieren von Bildern aus dem Internet ist nicht erlaubt.
\\
\\ \textbf{Hinweis: Autoren sind f\"{u}r den Inhalt ihrer Artikel oder Werke selbst verantwortlich. Die in MATHEMATIQ ver\"{o}ffentlichten Beitr\"{a}ge widerspiegeln ausschlie\ss{}lich die Meinung ihrer Autoren und nicht jene des Vereins Mensa. Die Zusendung von Beitr\"{a}gen gilt auch als Einverst\"{a}ndnis zu deren Ver\"{o}ffentlichung in MATHEMATIQ.}
\\
\\ \textbf{Diese Ausgabe} besch\"{a}ftigt sich mit Boolescher Algebra.
\\
\\ In diesem Sinne: Viel Spa\ss{} beim Lesen und Lernen!
\begin{flushright}
Claus D. Volko, cdvolko@gmail.com
\end{flushright}

\newpage

\begin{center}
\Large \textbf{Emulation Boolescher Operatoren}
\end{center}
\normalsize Warum ist es m\"{o}glich, alle anderen Booleschen Operatoren (AND, OR, NOT usw.) mit Hilfe von NAND oder NOR allein zu emulieren, aber nicht mit Hilfe von AND, OR oder XOR allein?
\\
\\ Sehen wir uns zun\"{a}chst an, wie NAND funktioniert.
\\
\\ NAND($x$,$y$) = 0 $\Leftrightarrow$ $x$ = $y$ = 1
\\ NAND($x$,$y$) = 1 $\Leftrightarrow$ $x$ = 0 OR $y$ = 0
\\
\\ Aus diesem Grund gilt:
\\
\\ NOT:
\\ NAND($x$,$x$) = 0 $\Leftrightarrow$ $x$ = 1
\\ NAND($x$,$x$) = 1 $\Leftrightarrow$ $x$ = 0
\\
\\ AND:
\\ NAND(NAND($x$,$y$),NAND($x$,$y$)) = 0 $\Leftrightarrow$ $x$ = 0 OR $y$ = 0
\\ NAND(NAND($x$,$y$),NAND($x$,$y$)) = 1 $\Leftrightarrow$ $x$ = $y$ = 1
\\
\\ OR:
\\ NAND(NAND($x$,$x$),NAND($y$,$y$)) = 0 $\Leftrightarrow$ $x$ = $y$ = 0
\\ NAND(NAND($x$,$x$),NAND($y$,$y$)) = 1 $\Leftrightarrow$ $x$ = 1 OR $y$ = 1
\\
\\ Mit NOR ist es analog.
\\
\\ NOR($x$,$y$) = 0 $\Leftrightarrow$ $x$ = 1 OR $y$ = 1
\\ NOR($x$,$y$) = 1 $\Leftrightarrow$ $x$ = $y$ = 0
\\
\\ Entscheidend dabei ist, dass die Operatoren NAND und NOR in einem Fall erfordern, dass beide Parameter das Gegenteil des Ergebnisses sind, und in anderem Fall, dass es zumindest einer der beiden Parameter ist.
\\
\\ Bei AND und OR sind die Parametern im einen Fall mit dem Ergebnis ident, im anderen Fall ist es zumindest einer der beiden Parameter.
\\
\\ Offensichtlich ist es also notwendig, immer mindestens einen Wert ``umzudrehen'', um alle anderen Booleschen Operatoren emulieren zu k\"{o}nnen; aus diesem Grund geht es mit NAND oder NOR, aber weder mit AND noch mit OR allein.
\\
\\ Da XOR(0,0) = 0, wird in diesem konkreten Fall der Wert ebenfalls nicht ``umgedreht''. Dies d\"{u}rfte der Grund sein, warum es nicht m\"{o}glich ist, XOR zu verwenden, um alle anderen Booleschen Operatoren zu emulieren.
\begin{flushright}
Claus D. Volko, cdvolko@gmail.com
\end{flushright}

\end{document}
